La teoria quantistica dei campi rappresenta uno dei pilastri fondamentali della fisica moderna, unendo in sé i principi della meccanica quantistica con quelli della relatività speciale. Tuttavia, nonostante i notevoli successi ottenuti nella descrizione dei fenomeni atomici e subatomici, permangono alcune questioni di carattere fondamentale che meritano un’analisi approfondita dal punto di vista matematico.

In questo lavoro ci proponiamo di esaminare criticamente le basi matematiche su cui poggia l’intera costruzione teorica, con particolare attenzione ai problemi di convergenza delle serie perturbative e alla questione della rinormalizzazione delle divergenze infinite che compaiono nei calcoli di ordine superiore.

Il punto di partenza della nostra analisi è costituito dalla formulazione hamiltoniana della teoria classica dei campi. Consideriamo un campo scalare φ(x,t) governato dall’equazione di Klein-Gordon:

La densità hamiltoniana corrispondente si scrive nella forma canonica come funzione delle coordinate di campo φ e dei momenti coniugati π = ∂φ/∂t. La transizione al caso quantistico avviene mediante l’imposizione delle relazioni di commutazione canoniche tra operatori di campo e momento.

È di fondamentale importanza notare che questa procedura di quantizzazione, per quanto naturale dal punto di vista formale, introduce immediatamente delle difficoltà matematiche non trascurabili. Gli operatori di campo, infatti, non sono definiti in senso rigoroso come operatori limitati su uno spazio di Hilbert, ma richiedono una formulazione più sofisticata in termini di distribuzioni temperate.

Uno degli aspetti più delicati della teoria quantistica dei campi è rappresentato dalla comparsa sistematica di divergenze infinite nei calcoli perturbativi di ordine superiore al primo. Queste divergenze si manifestano sotto forma di integrali impropri che non convergono nel senso usuale.

La tecnica della rinormalizzazione, sviluppata principalmente da Tomonaga, Schwinger e Feynman, consente di estrarre risultati fisici finiti da questi calcoli apparentemente privi di significato. Il procedimento si basa sulla separazione sistematica delle parti divergenti e sulla loro riassorbimento in una ridefinizione dei parametri della teoria.

Tuttavia, dal punto di vista matematico rigoroso, questa procedura solleva questioni profonde circa la consistenza logica dell’intera costruzione teorica. È lecito chiedersi se esista una formulazione alternativa della teoria che eviti completamente l’insorgere di tali divergenze, mantenendo al contempo la capacità predittiva della formulazione convenzionale.

L’integrale mostrato rappresenta un tipico esempio di divergenza quadratica che compare nel calcolo dell’autoenergia dell’elettrone in elettrodinamica quantistica. La sua regolarizzazione richiede l’introduzione di parametri ausiliari (cutoff) che devono successivamente essere eliminati mediante un appropriato processo di limite.